શું $f(x) = \begin{cases} x + 5, & \text{જો } x \le 1 \\ x - 5, & \text{જો } x > 1 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય સતત વિધેય છે?

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} x + 5, & \text{જો } x \le 1 \\ x - 5, & \text{જો } x > 1 \end{cases}$ છે.
વિધેય $f$ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
ધારો કે $c$ કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
કિસ્સો $I$: જો $c < 1$ હોય,તો $f(c) = c + 5$ અને $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x + 5) = c + 5$. કારણ કે $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,તેથી $f$ એ તમામ $x < 1$ માટે સતત છે.
કિસ્સો $II$: જો $c = 1$ હોય,તો $f(1) = 1 + 5 = 6$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x + 5) = 6$ છે. જમણી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x - 5) = -4$ છે. ડાબી બાજુનું લક્ષ $\neq$ જમણી બાજુનું લક્ષ હોવાથી,$f$ એ $x = 1$ આગળ સતત નથી.
કિસ્સો $III$: જો $c > 1$ હોય,તો $f(c) = c - 5$ અને $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x - 5) = c - 5$. કારણ કે $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,તેથી $f$ એ તમામ $x > 1$ માટે સતત છે.
નિષ્કર્ષ: વિધેય $f$ એ $x = 1$ આગળ સતત નથી.